Saturday, March 28, 2009

تعرف على الرياضيات الهندسية (1)

المستطيل.........



المستطيل في الهندسة الرياضية هو شكل ثنائي الأبعاد، وهو رباعي أضلاع بحيث تكون زواياه الأربعة قائمة. ينبع من هذا أنّ للمستطيل زوجين من الضلعين المتقابلين والمتساويين؛ أي أنّ المستطيل هو حالة خاصة من متوازي أضلاع تكون جميع الزوايا به قائمة. كما ويعتبر المربع حالة خاصة من المستطيل تكون فيها أطوال الأضلاع الأربعة متساوية.
تعريف وخواص
عمومًا ما يطلق على الضلع الأطول في المستطيل أسم الطول، وعلى الضلع الأقصر أسم العرض. وتكون مساحة المستطيل حاصل ضرب طوله وعرضه.
في المستطيل تكون جميع الزوايا قائمة، وكل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين. لأنّه نوع خاص من متوازي أضلاع، فإنّ أقطار المستطيل متساوية الطول وتنصّف بعضها البعض. بعكس المربع والمعين فإنّ أقطار المستطيل غير متعامدة ولا تنصف زواياه.
لأنّ زوايا المستطيل قائمة، بالإمكان إيجاد طول قطره، من عرضه، وطوله، بواسطة قانون فيثاغورس:




في حساب التكامل، قد يستخدم المستطيل أيضًا في حساب تكامل ريمان التقريبي لتكامل دالّة، بواسطة تحويل المساحة الموجودة تحت الرسم البياني للدالة إلى سلسلة من المستطيلات ذات عرض صغير، Δx، وطول يساوي معدّل قيمة الدالة في الجوار Δx.







التوازي

المستقيمان a و b هما مستقيمان متوازيان
في الهندسة الرياضية، يعبر التوازي عن علاقة ثنائية بين كائنين هندسيين مثل خطين مستقيمين أو مستويين، و تشترط هذه العلاقة استحالة التقاء هذين الكائنين في جميع نقاط الفضاء. يرمز لعملية التوازي بخطين عموديين متوازيين بالشكلABCDEF






الدوال المثلثية




في الرياضيات، تعتبر التوابع مثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال كنسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية (unit circle) .
الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما. وهناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:
• جا(sin) الجيب ، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
• جتا(cos) جيب التمام ، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
• ظا(tan=sin/cos) الظل ، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.
• ظل التمام(cotan) ، ويساوي النسبية بين الضلع المجاور للزاوية والضلع المقابل لها.
تمثيل مبياني لدالة جيب التمام

في الدائرة المثلثية
يعتبر جيب تمام راوية في الدائرة المثلثية هو الاسقاط العمودي على محور الافاصيل.
وهو دالة زوجية حيث ان
Cos(-x)=Cos(x)






خط مستقيم


ثلاث خطوط مستقيمة في المستوي الديكارتي
من الممكن وصف المستقيم على أنه خط مستقيم له طول لانهائي و عرض يتناهي للصفر يحتوي عدد لا نهائي من النقاط. في الهندسة الإقليدية يوجد مستقيم وحيد يمر من نقطتين متمايزتين، ويعطي المستقيم أقصر مسافة بين أي نقطتين. المستقيم يمتد إلى ما لا نهاية من جهتيه. من الممكن لمستقيمين في المستوي أن يكونا متوازيين، أو متقاطعين عند نقطة واحدة. في الفراغ من الممكن لمستقيمين أيضاً أن يكونا متخالفين، أي أنهما لا يجتمعان أبداً ولكن أيضاً لا يقعان في مستوي واحد








الدائرة


رسم توضيحي للدائرة يوضح القطر، نصف القطر، الوتر، قوس منها، والمحيط
الدائرة هي شكل هندسي بسيط يتكون من عدة نقاط تتباعد نفس المسافة من مركز الدائرة ، وإذا تم الوصل يسمى بخط نصف القطر ، فالدائرة قطاع مخروطي ينتج من قطع مخروط بمستو مواز لقاعدته, وهي المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث تظل المسافة بينها وبين نقطة ثابتة أخرى (تسمى بالمركز)ثابتة.وهي مجموعة من النقاط تبعد بعدًا ثابتًا ( نصف القطر )عن نقطة ثابته ( المركز ).
قطر الدائرة هو الخط المار في مركز الدائرة ويصل بين نقطتين متقابلتين على محيط الدائرة, وقطر الدائرة (ق) يساوي 2* نق و (نق) هو نصف قطر الدائرة.
وتر الدائرة:هو الخط الذي يصل بين نقطتيين تقعان على محيط الدائرة وليس بالضرورة أن تمر في المركز، فكل قطر وتر ولكن ليس كل وتر قطر
الرقم الثابت (ط Pi)ويساوي 22/7 ويساوي 3,14159.
محيط الدائرة: هي طول المسافة حول محيط الدائرة وتساوي حاصل ضرب فطر الدائرة في النسبة الثابتة, أي ( ق*ط).
مساحة الدائرة: هي مساحة المنطقة المحصورة ضمن محيط الدائرة وتساوي حاصل ضرب نصف قطر الدائرة مضروب في نفسه مضروب في النسبة الثابتة, أي (نق*نق*ط).
قطر الدائرة


قطر الدائرة



القُطْر هو في الدائرة أو في الكرة أو في الإهليلج، القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين على الدائرة (أو الكرة أو الإهليلج) والمارة بالمركز، وهو بذلك الوتر المار بالمركز.
وتر الدائرة


وتر الدائرة هو القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين على الدائرة. وأطول وتر في الدائرة هو قطرها.




نقطة
في الهندسة الرياضية، النقطة الفراغية (بالإنجليزية: spatial point) عبارة عن كائن رياضي عديم الأبعاد و المساحة و الحجم يمثل مفهوما أساسيا في الهندسة الرياضية و العديد من فروع الرياضيات و الفيزياء و الرسوميات الشعاعية vector graphics (ثنائية و ثلاثية الأبعاد). تتميز النقطة بأنها تملك موقعا في الفراغ لكن بدون حجم و مساحة و لا أبعاد فهي تمثل معلومات عن الموقع فقط دون أي خواص رياضية أخرى .
في الرياضيات خاصة في الطوبولوجيا ، يعتبر الفضاء عبارة عن مجموعة ضخمة من النقاط .
النقاط في الهندسة الإقليدية


مجموعة من النقاط في الفضاء الإقليدي
النقطة في الهندسة الإقليدية لا تملك أي قياسات ، توجه و لا أي ميزة سوى تحديد الموقع . بدهيات إقليدس أو افتراضاته تؤكد في العديد من الحالات على وجود النقاط : فمثلا تؤكد بديهيات إقليدس أنه إذا كان مستقيمين غير متوازيين فهما حتما يشتركان بنقطة واحدة .
يرمز للنقطة في الفضاء الإقليدي الثنائي الأبعاد بثنائية مرتبة (x,y) من الأعداد، حيث يكون العدد الأول يمثل الإحداثيات الأفقية يرمز له عادة بـ x، والعدد الثاني الإحداثيات الشاقولية ويرمز له بـ y. وتعمم هذه الفكرة إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد بالثلاثية المرتبة (x,y,z).

No comments:

Post a Comment

Post a Comment